Norris, segundo no geral e 22 pontos atrás de Piastri após 10 das 24 corridas da temporada, deu uma volta no Red Bull Ring com o melhor tempo de 1min4s324 e 0,118 mais rápido que o australiano.
Verstappen ficou 0,210 abaixo do ritmo, com um grande giro na última curva no final da sessão, e foi seguido por Charles Leclerc e Lewis Hamilton, da Ferrari, em quarto e quinto.
A McLaren liderou duas das três sessões, com George Russell, da Mercedes, sendo o mais rápido na abertura, na sexta-feira, mas em sexto em um sábado muito mais quente e cada vez mais quente.
"Foi por isso que a situação ficou um pouco complicada para nós. Estávamos bastante competitivos até o final e, então, você pode ver que realmente a temperatura ultrapassa um certo limite e perdemos desempenho", disse o chefe de equipe da Mercedes, Toto Wolff, à televisão Sky Sports.
"A McLaren em alta velocidade (nas curvas) vai ser muito difícil de igualar.
"Mudamos um pouco o equilíbrio ontem e isso foi em uma direção que não era tão perfeita. Ele voltou mais hoje, mas a temperatura da pista evoluiu drasticamente durante a sessão, passamos de 33 graus para 42 e isso faz uma grande diferença."
A Mercedes teve o estreante italiano Kimi Antonelli em sétimo, à frente de Lance Stroll, da Aston Martin, Yuki Tsunoda, da Red Bull, e Gabriel Bortoleto, da Sauber, completando o top 10.
Norris também foi o mais rápido na segunda sessão de sexta-feira e parece determinado depois de ter passado em branco no Canadá há duas semanas, quando colidiu com Piastri.