Vigouroux foi o goleiro titular do Orient nas últimas três temporadas e foi peça-chave na promoção do time como campeão da League Two, com menos gols sofridos (34) na quarta divisão.
"Estamos ansiosos para que Lawrence faça parte do que estamos construindo aqui no Burnley", disse o técnico Vincent Kompany (37).
"Ele passou pelos melhores sistemas acadêmicos para se tornar o jogador que é hoje, com atuações de destaque nos últimos anos. Ele é um goleiro muito talentoso, com uma boa personalidade e com quem gostaremos de trabalhar."
Os vencedores do campeonato contrataram o zagueiro irlandês Dara O'Shea (24) do West Bromwich Albion, time da segunda divisão, na sexta-feira, em uma tentativa de reforçar o time para o retorno à Premier League.
"É incrível estar aqui", disse Vigouroux ao site do Burnley. "Um campo de treinamento inacreditável para fazer parte e estou muito feliz."