Gauff, de 19 anos, comemorou com raiva e alívio a vitória por 3-6, 6-2 e 6-4.
Siegemund, de 35 anos, é a atual número 131 do mundo, mas vinha de excelentes jogos na temporada de grama.
"Foi uma partida difícil, não joguei meu melhor tênis e Laura é uma adversária difícil, ela lutou até o fim como sempre", disse Gauff, a grande esperança do tênis americano para substituir Serena Williams, que se aposentou.
A joia de Delray Beach (Flórida) enfrentará na segunda rodada outra tenista ainda mais jovem do que ela, a russa Mirra Andreeva, de 16 anos, a quem já derrotou na terceira rodada da última edição de Roland Garros.
Andreeva, 63ª do ranking, foi uma das grandes surpresas de Wimbledon este ano.
A esperança americana
Vice-campeã de Roland Garros em 2022, Gauff é considerada uma das grandes candidatas ao título em Nova York após as vitórias neste mês no WTA 500 de Washington e no WTA 1000 de Cincinnati.
Gauff perdeu o primeiro set diante da estratégia inteligente de Siegemund e da responsabilidade de não decepcionar a enorme torcida, que incluía celebridades como o casal Obama, Maria Sharapova e Mike Tyson.
A americana começou a se recuperar quebrando o saque da adversária em um interminável primeiro game do segundo set que durou 26 minutos.
No set decisivo, Gauff perdeu a paciência com a árbitra Marijana Veljovic, a quem apontou por não ter aplicado as regras de violação de tempo contra Siegemund.
"Eu não me importo com o que ela faz com o saque dela, mas com o meu ela tem que estar pronta", gritou Gauff para a árbitra. "Ela nunca está preparada".
Os ânimos voltaram a esquentar quando Siegemund foi sancionada por violação de tempo pela segunda vez, dando a Gauff uma vantagem de 5-1.
Siegemund reclamou furiosamente com a juiza, que não atendeu sua reivindicação.
A alemã resistiu à derrota e chegou a diminuir para 5-4, mas Gauff aproveitou seu segundo game de saque para garantir a vitória.
Retorno triunfal de Wozniacki
Horas antes a dinamarquesa Caroline Wozniacki, ex-número um do mundo, derrotou a russa Tatiana Prozorova em sua primeira partida de Grand Slam desde o início de 2020.
Wozniacki, que deu à luz duas vezes nesse período de afastamento, comemorou o retorno com uma contundente vitória por 6-3 e 6-2 sobre Prozorova, número 227 do ranking mundial e estreante na chave principal de um Grand Slam.
Na próxima rodada, a dinamarquesa vai enfrentar outra campeã do Grand Slam, a tcheca Petra Kvitova (11ª).
"É incrível estar de volta", disse Wozniacki na quadra. "Obviamente fiquei muito nervosa depois de não estar aqui desde 2019", reconheceu a ex-número um, acompanhada dos filhos em Nova Iorque.
Aos 33 anos, Wozniacki voltou às quadras no início deste mês com sua primeira aparição no WTA 1000 em Montreal, onde também passou da primeira fase.